Activité 4 — Dater une roche, soigner un patient (corrigé)

Dater un cristal : les zircons de Jack Hills

Document 1 — Les zircons de Jack Hills (Australie-Occidentale)

La décroissance de l’uranium 238

Document 2 — Décroissance de l’uranium 238

La courbe ci-dessous donne l’évolution du nombre de noyaux d’uranium 238 encore présents dans un cristal, exprimé en pourcentage du nombre initial, en fonction du temps écoulé depuis la cristallisation.

Soigner un patient : la scintigraphie au technétium 99m

Document 3 — La scintigraphie au technétium 99m

Se protéger des rayonnements ionisants

Document 4 — Les principes de la radioprotection

La radioprotection regroupe l’ensemble des mesures destinées à protéger les personnes des rayonnements ionisants. Le système international de radioprotection repose sur trois principes et se traduit par trois moyens pratiques.

Les trois principes	Les trois moyens pratiques
Justification : toute exposition doit être justifiée par un bénéfice qui l’emporte sur le risque.	Temps : réduire la durée d’exposition.
Optimisation (ALARA) — As Low As Reasonably Achievable : maintenir l’exposition aussi basse que raisonnablement possible.	Distance : s’éloigner de la source.
Limitation : respecter les limites réglementaires de dose.	Écran : placer un écran (plomb, béton) entre la source et la personne.

Conseils au patient après un examen de médecine nucléaire : boire beaucoup et uriner fréquemment pour accélérer l’élimination du traceur ; éviter les contacts rapprochés et prolongés avec de jeunes enfants et des femmes enceintes pendant quelques heures.

Source : ASNR (ex-ASN/IRSN), fiche d’information du public « Les principes de la radioprotection ».

Questions

1. La datation de ce cristal repose sur deux hypothèses, toutes deux énoncées dans le Document 1.

   (a) Laquelle concerne le plomb présent au moment de la cristallisation ?

   (b) Laquelle concerne les échanges possibles entrée ou sortie du cristal depuis sa formation ?

   (c) Choisissez l’une de ces deux hypothèses et expliquez pourquoi l’âge calculé serait erroné si elle n’était pas vérifiée.

   Correction

   (a) L’hypothèse H1 : le zircon incorpore l’uranium mais rejette le plomb lors de sa cristallisation, si bien qu’il ne contenait aucun plomb au départ.

   (b) L’hypothèse H2 : le zircon s’est comporté comme un système fermé, sans avoir perdu ni gagné d’uranium ou de plomb depuis sa cristallisation.

   (c) Exemples de réponse.

   Si H1 n’était pas vérifiée : une partie du plomb 206 mesuré aujourd’hui aurait été présente dès la cristallisation, sans provenir d’une désintégration. On attribuerait donc à la désintégration plus de plomb qu’elle n’en a réellement produit : le cristal semblerait avoir vécu plus de demi-vies qu’en réalité, et l’âge calculé serait surestimé.

   Si H2 n’était pas vérifiée : le rapport plomb/uranium mesuré ne traduirait plus seulement la désintégration. Une perte de plomb (ou un gain d’uranium) ferait paraître le cristal plus jeune qu’il ne l’est ; une perte d’uranium (ou un gain de plomb) le ferait paraître plus vieux.

2. Le comptage donne $67$ atomes de plomb 206 pour $100$ atomes d’uranium 238.

   (a) Déduisez-en le nombre $N_0$ de noyaux d’uranium 238 présents lors de la cristallisation (pour $100$ noyaux restants aujourd’hui), puis calculez le pourcentage de noyaux d’uranium 238 restants.

   (b) Expliquez pourquoi la mesure du seul uranium 238 restant n’aurait pas permis de dater le cristal.

   Correction

   (a) Chaque noyau de plomb 206 provient de la désintégration d’un noyau d’uranium 238 : les $67$ noyaux de plomb correspondent donc à $67$ noyaux d’uranium déjà désintégrés. Pour $100$ noyaux d’uranium restants aujourd’hui :

   $N_0 = 100 + 67 = 167\ \text{noyaux}$

   Le pourcentage de noyaux d’uranium 238 encore présents vaut donc :

   $\frac{N}{N_0} = \frac{100}{167} = 0{,}599 = 59,9\,\mathrm{\%} \approx 60\,\mathrm{\%}$

   (b) La mesure du seul uranium 238 restant donne le nombre $N$ de noyaux actuels, mais pas le nombre $N_0$ de noyaux présents à la cristallisation : cette valeur initiale n’est pas connue (rien ne la fixe dans le cristal). Or c’est bien le rapport $N/N_0$ qui renseigne sur le nombre de demi-vies écoulées. C’est le plomb 206 accumulé qui joue ce rôle : il indique combien de noyaux d’uranium se sont désintégrés, donc permet de remonter à $N_0$.

3. À l’aide de la courbe du Document 2 :

   (a) Déterminez graphiquement la demi-vie $t_{1/2}$ de l’uranium 238, c’est-à-dire le temps au bout duquel il ne reste plus que $50\,\mathrm{\%}$ des noyaux initiaux.

   (b) À l’aide du pourcentage de noyaux d’uranium 238 restants calculé à la question 2.(a), déduisez-en graphiquement l’âge du cristal, comparez-le à l’âge publié pour ce grain ($3,31$ milliards d’années) et commentez la précision de cette lecture.

   Correction

   (a) On trace l’horizontale d’ordonnée $50\,\mathrm{\%}$, puis la verticale passant par son point d’intersection avec la courbe (construction portée en rouge sur la figure du Document 2) : on lit $t_{1/2} \approx 4,5$ milliards d’années (la valeur tabulée est $4,468$ milliards d’années).

   (b) D’après la question 2.(a), il reste $59,9\,\mathrm{\%}$ des noyaux d’uranium 238, soit environ $60\,\mathrm{\%}$ : plus de la moitié du stock initial subsiste, donc moins d’une demi-vie s’est écoulée depuis la cristallisation. On lit l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée $60\,\mathrm{\%}$, puis la verticale correspondante (construction portée en rouge sur la figure du Document 2) : on obtient $t \approx 3,3$ milliards d’années.

   Cette valeur est en très bon accord avec l’âge publié pour ce grain, $3,31$ milliards d’années. En revanche, la lecture graphique ne permet pas une précision de cet ordre : la grille n’est graduée que tous les $0,5$ milliard d’années et l’épaisseur du trait empêche de lire mieux que quelques dixièmes de milliard d’années. L’âge publié (obtenu par spectrométrie de masse) est donné à quelques millions d’années près : la courbe confirme l’ordre de grandeur, elle ne peut pas vérifier les décimales.

   Remarque

   Rappel (activité 3). Après $n$ demi-vies écoulées, le nombre de noyaux radioactifs restants vaut

   $N = \dfrac{N_0}{2^{\,n}}, \qquad \text{avec} \qquad n = \dfrac{t}{t_{1/2}}.$

4. Une activité de $600\,\mathrm{MBq}$ de technétium 99m est injectée à un patient à $8\,\mathrm{h}$. Déterminez la fraction de noyaux encore présents $24\,\mathrm{h}$ plus tard. Comme l’activité est proportionnelle au nombre de noyaux, déduisez-en l’activité restante.

   Correction

   Avec $t_{1/2} = 6,0\,\mathrm{h}$, la durée de $24\,\mathrm{h}$ correspond à

   $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{24\,\mathrm{h}}{6,0\,\mathrm{h}} = 4{,}0\ \text{demi-vies}$

   La fraction de noyaux encore présents vaut donc :

   $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2^{\,4}} = \frac{1}{16} = 0{,}0625 = 6,25\,\mathrm{\%}$

   L’activité étant proportionnelle au nombre de noyaux, elle est divisée par 16 :

   $A = \frac{A_0}{16} = \frac{600\,\mathrm{MBq}}{16} = 37,5\,\mathrm{MBq} \approx 38\,\mathrm{MBq}$

5. À l’aide du Document 3, expliquez pourquoi le technétium 99m est particulièrement adapté à l’imagerie médicale. Donnez au moins deux arguments et précisez le rôle de sa demi-vie.

   Correction

   • C’est un émetteur gamma : le rayonnement d’énergie $140\,\mathrm{keV}$ traverse les tissus et peut être détecté à l’extérieur du corps, ce qui permet de reconstruire une image de la répartition du traceur. Un émetteur alpha ou bêta, arrêté dans l’organisme, serait inutilisable pour une imagerie externe.
   • Sa demi-vie courte ($t_{1/2} = 6,0\,\mathrm{h}$) limite dans le temps l’irradiation du patient : l’activité décroît très vite après l’examen. Elle reste néanmoins suffisante pendant celui-ci, puisque les images sont acquises $2\,\mathrm{h}$ à $3\,\mathrm{h}$ après l’injection, soit moins d’une demi-vie.
   • Il est produit sur place, à l’hôpital, à partir d’un générateur au molybdène 99 : cette production locale rend possible l’emploi d’un radionucléide aussi éphémère.

6. (a) À l’aide du Document 4, citez les trois moyens de se protéger d’une source radioactive et proposez, pour chacun, un exemple concret — soit pour le personnel du service de médecine nucléaire, soit pour le patient de retour chez lui.

   (b) Le Document 4 présente également les trois principes de la radioprotection. Nommez celui qui consiste à maintenir l’exposition « aussi basse que raisonnablement possible » et expliquez en quoi les trois moyens de la question (a) en sont une application concrète.

   Correction

   (a) Les trois moyens pratiques et un exemple pour chacun :

   • le temps : réduire la durée d’exposition. Par exemple, le personnel prépare et injecte la dose le plus rapidement possible, ou le patient évite les contacts rapprochés et prolongés avec de jeunes enfants et des femmes enceintes ;
   • la distance : s’éloigner de la source. Par exemple, la seringue est manipulée à l’aide d’une pince, ou le patient garde ses distances avec ses proches ;
   • l’écran : interposer un matériau absorbant (plomb, béton). Par exemple, un protège-seringue en plomb et une vitre plombée pour le personnel, ou les murs en béton du local.

   (b) Ce principe est l’optimisation, aussi appelée principe ALARA (As Low As Reasonably Achievable).

   Les trois moyens en sont l’application concrète : passer moins de temps près de la source, s’en tenir plus loin et interposer un écran réduisent tous les trois la dose reçue par la personne exposée. Ils permettent donc de maintenir l’exposition aussi basse que raisonnablement possible, sans renoncer au bénéfice de l’examen pour le patient (principe de justification).

Pour aller plus loin — Datations chiffrées et choix d’une horloge

7. Dater un charbon de bois au carbone 14. Un fragment de charbon de bois retrouvé dans une grotte présente une activité due au carbone 14 de $A = 0,029\,\mathrm{Bq}$ par gramme de carbone. Un échantillon de bois vivant possède, lui, une activité $A_0 = 0,23\,\mathrm{Bq}$ par gramme. On donne $t_{1/2}(\ce{^{14}_{6}C}) = 5730$ ans.

   (a) Calculez le rapport $A/A_0$ et montrez qu’il vaut environ $1/8$.

   (b) L’activité d’un échantillon est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs qu’il contient. Déduisez-en le nombre $n$ de demi-vies écoulées depuis la mort de l’arbre.

   (c) Calculez l’âge du charbon de bois.

   (d) Pourrait-on dater de la même façon une roche vieille de $4$ milliards d’années ? Justifiez en une phrase.

   Correction

   (a) $\dfrac{A}{A_0} = \dfrac{0,029\,\mathrm{Bq}}{0,23\,\mathrm{Bq}} = 0{,}126 \approx \dfrac{1}{8}$.

   (b) L’activité est proportionnelle au nombre de noyaux, donc $\dfrac{N}{N_0} = \dfrac{A}{A_0} \approx \dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ : il s’est écoulé $n = 3$ demi-vies.

   (c) $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 5730\,\mathrm{ans} = 1,7 \times 10^{4}\,\mathrm{ans}$ (environ $17\,000$ ans).

   (d) Non : la demi-vie du carbone 14 ($5730\,\mathrm{ans}$) est bien trop courte devant $4$ milliards d’années (environ $7\times10^{5}$ demi-vies), il ne reste pratiquement plus de carbone 14 dans une telle roche. Le carbone 14 ne permet d’ailleurs de dater que la matière organique, sur quelques dizaines de milliers d’années au maximum.

8. Choisir la bonne horloge. Une datation n’est exploitable que si la durée $t$ à mesurer correspond à un nombre de demi-vies $n = t/t_{1/2}$ proche de 1. On donne $t_{1/2}(\ce{^{14}C}) = 5730$ ans, $t_{1/2}(\ce{^{99m}Tc}) = 6,0\,\mathrm{h}$ et $t_{1/2}(\ce{^{238}U}) = 4,468$ milliards d’années.

   (a) Calculez $n = t/t_{1/2}$ (durées converties en années) pour ces trois noyaux dans les deux cas suivants : une pièce de bois gauloise de $2000$ ans, une roche lunaire de $4,0$ milliards d’années. Présentez les six résultats dans un tableau.

   (b) Quel noyau faut-il choisir dans chaque cas ? Justifiez à l’aide des valeurs de $n$ et expliquez pourquoi le troisième noyau est inutilisable dans les deux cas.

   (c) L’uranium 238, horloge de la Terre. La Terre s’est formée il y a $4,57$ milliards d’années, alors que le plus ancien zircon de Jack Hills (Document 1) a cristallisé il y a $4,404$ milliards d’années. Calculez l’écart entre ces deux dates (en millions d’années), puis le pourcentage de noyaux d’uranium 238 encore présents aujourd’hui dans une roche qui se serait formée avec la Terre.

   Correction

   (a) On convertit d’abord la demi-vie du technétium 99m en années : $6,0\,\mathrm{h} = \dfrac{6{,}0}{24 \times 365{,}25} = 6,8 \times 10^{-4}\,\mathrm{an}$.

   Noyau	$t_{1/2}$	$n$ pour $2000$ ans	$n$ pour $4,0$ milliards d’années
   $\ce{^{14}C}$	$5730\,\mathrm{ans}$	$0{,}35$	$7{,}0\times 10^{5}$
   $\ce{^{99m}Tc}$	$6,8 \times 10^{-4}\,\mathrm{an}$	$2{,}9\times 10^{6}$	$5{,}8\times 10^{12}$
   $\ce{^{238}U}$	$4,468$ milliards d’années	$4{,}5\times 10^{-7}$	$0{,}90$

   (b) Pour la pièce de bois gauloise ($2000$ ans), on choisit le carbone 14 : $n \approx 0{,}35$, la valeur la plus proche de 1. Pour la roche lunaire ($4,0$ milliards d’années), on choisit l’uranium 238 : $n \approx 0{,}90$.

   Le troisième noyau, le technétium 99m, est inutilisable dans les deux cas : $n \approx 2{,}9\times 10^{6}$ pour le bois et $n \approx 5{,}8\times 10^{12}$ pour la roche. Ces valeurs sont énormes devant 1 : sa demi-vie de $6,0\,\mathrm{h}$ est si courte qu’au bout de quelques dizaines d’heures il ne reste plus aucun noyau à mesurer.

   Dans chaque situation, l’autre noyau écarté l’est pour la raison inverse : pour le bois, l’uranium 238 est inutilisable car $n \approx 4{,}5\times 10^{-7} \ll 1$ (pratiquement aucun noyau ne s’est désintégré : la quantité de plomb formée est indétectable) ; pour la roche, le carbone 14 est inutilisable car $n \approx 7\times 10^{5} \gg 1$ (il a entièrement disparu).

   (c) Écart entre les deux dates :

   $4{,}57 - 4{,}404 = 0{,}166~\text{milliard d'années} = 166~\text{millions d'années}$

   Pour une roche formée avec la Terre, $t = 4,57$ milliards d’années, soit $n = \dfrac{4{,}57}{4{,}468} = 1{,}02$ demi-vie :

   $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2^{\,1{,}02}} = 0{,}49 = 49\,\mathrm{\%}$

   Il reste donc environ $49\,\mathrm{\%}$ des noyaux d’uranium 238 initiaux (contre $60\,\mathrm{\%}$ pour le grain étudié, plus récent : c’est cohérent).